Friday, 23 July 2010

Les Carrés Magiques et les Sphères - 1

Les premiers auteurs des livres sur les carrés magiques leurs donnaient l’appellation de ‘Tables Planétaires’, ou ‘Quarrés Sublimes’. Ce n’est qu’en 1691 que le mathématicien ambassadeur Simon de la Loubère introduit pour la première fois le qualitatif « magique » dans son ouvrage ‘Des Quarrez Magiques’.

Un carré magique normal est un carré de dimension N x N cases qui contient tous les nombres entiers entre 1 et N², arrangés de telle sorte que les sommes de chacune des lignes, colonnes et diagonales principales soient toujours égales.

Si on passe sous silence le carré magique d'ordre 1, le deuxième plus petit carré magique normal est de dimension 3 x 3 :
carré magique 3 fois 3 d'ordre 3
Carré magique dans le domaine public
Le carré magique de 3 x 3 est le seul en son genre si on ne compte pas ses sept frères obtenus par réflexion ou par rotation. On constate que la somme ou constante magique de chaque ligne, colonne, et des deux diagonales est de 15. La constante magique d’un carré est le ‘nombre triangulaire’ de sa dimension carrée divisée par sa dimension (l'ordre du carré magique):

constante magique d'un carré magique
Parfois appelé ‘Carré de Salomon’, le carré magique de 3 x 3 est réputé avoir figuré sur des documents écrits à l’époque des premiers empereurs Han - dont le début de la dynastie était 202 avant l’ère chrétienne.

Les carrés magiques, entourés de mystère depuis des siècles, se sont fait attribuer des pouvoirs spéciaux, et pour cette raison sont souvent représentes sur les jetons talismaniques qu’on trouve dans les grandes collections de médailles.

En 1533 le mage Henry Cornélius Agrippa consacrait le Livre Second de sa ‘Philosophie Occulte’ à la « magie céleste ». Le chapitre XXII traite ‘Des tables des planètes, de leurs vertus et formules, et quels sont les Noms divins, les Intelligences et les Daimons qui les gouvernent’. « Les Mages, enseigne-t-il, nous ont transmis les sceaux et les Nombres des Sept Planètes, qu’on appelle aussi Tables Sacrées, car elles représentent l’harmonie des nombres célestes …Cette harmonie ne peut s’exprimer que par des chiffres et des charactères. Ces représentations matérielles des Nombres et des Signes ne sont rien d’autre dans le mystère des choses cachées que la figuration des Nombres essentiels qui dirigent et forment les choses à partir des Nombres Divins par l’intermédiaire des intelligences. » Les ‘tables planétaires’ qui illustrent le livre d’Agrippa ne sont autres que des carrés magiques. Agrippa a ainsi publié dans leur forme traditionnelle sept carrés magiques de dimension 3 x 3 à 9 x 9 et les a associés aux sept planètes:
carrés magiques d'Agrippa
Les carrés magiques d'Agrippa sont dans le domaine public
L’ordre d’attribution planétaire des sept carrés magiques traditionnels semble être inspiré par la conception cosmographique de Ptolémée, elle-même dérivée du système géocentrique Pythagoricien. Ptolémée (astronome grec décédé à Alexandrie en l’année 168) affirmait que la Terre était au centre de l’univers et que les planètes y compris le Soleil tournaient autour d’elle en orbites sphériques concentriques. Dans l’ordre croissant de leurs distances à la Terre ces sphères étaient celles de la Lune, de Mercure, de Venus, du Soleil, de Mars, de Jupiter, et de Saturne, avec une huitième sphère pour les étoiles fixes. Le concept de Ptolémée était adopté par l’Eglise qui considérait que la terre était au centre de la création et que le paradis et l’enfer se trouvaient au-delà de la huitième sphère.

Défiant le Saint-Office, par leurs efforts (et parfois par leurs sacrifices), des hommes tels que Nicolas Copernic, Giordanno Bruno, Johannes Kepler et Galileo Galilei ont réussi à imposer le concept héliocentrique.

Aujourd’hui nous savons que les planètes y compris la Terre décrivent des orbites elliptiques autour du Soleil, lui-même une étoile moyenne au bord d’une des million million galaxies dans l’univers observable, et nous connaissons l’existence des planètes Uranus, et Neptune, mais faut-il pour autant remettre en question la valeur symbolique des tables planétaires décrites par Agrippa ?

Dans son livre ‘Les Carrés Magiques’ Lucien Gérardin indique que ce n’est qu’en 1940 que l’occultiste et magicien Robert Ambelain compléta la série des sept carrés traditionnels d’Agrippa avec une publication dans La Géomancie magique d’un carré de dimension Dix, qui serait celui de la Terre.

Au début du Livre Second de son ouvrage ‘La Philosophie Occulte’ Agrippa avait écrit : ‘Les sciences de la Mathématique sont si nécessaires à la Magie, et ont tant de liaison avec elle, que ceux qui se mêlent de l’une sans employer l’autre ne font rien qui vaille. Ils perdent leur temps et ne viennent jamais à bout de leur dessein. Tout ce qui existe et tout ce qui se fait ici-bas par l’opération des forces naturelles est conduit avec nombre, poids, mesure et harmonie.’

Il existe deux courants de recherche sur les carrés magiques, celui des mages et celui des mathématiciens aussi éminents que Pascal, Frénicle et Euler pour ne citer que ces quelques noms. Lucien Gérardin écrit que « Ces deux courants sont nullement opposés mais bien complémentaires. On mutilerait le sens profond des carrés magiques si on n’étudiait ces derniers d’un seul point de vue. On le mutilerait davantage si l’on réduisait sa curiosité aux sept carrés planétaires traditionnels, en passant ainsi à coté de l’immense richesse du domaine. »

En effet le nombre de carrés magiques normaux ne se limite pas aux exemples de carrés magiques traditionnels publiés par le mage Cornélius Agrippa : Si le carré 3 x 3 est unique, à partir du carré de dimension 4 x 4 le nombre de carrés magiques possibles augmente de façon exponentielle. Les carrés magiques de dimension 4 x 4 comptent déjà 880 membres, les carrés magiques de dimension 5 x 5 en comptent 275,305,224, et les nombres de solutions des plus grands carrés magiques approchent rapidement l'infini.

Le carré magique suivant de dimension quatre est un carré remarqué aux Indes par le révérend Frost, un missionnaire anglais qui évangélisait dans ce pays au XIXe siècle. Le carré ornait la grille de la porte d’entrée du vieux fort de Gwalior.
carré magique diabolique d'ordre 4
Carré magic de Gwalior dans le domaine public
Il s’agit d’un carré dit « diabolique », ou parfois panmagique, pandiagonal, continu, parfait, Nasik, ou Jaïna (la dernière appellation puisque le carré en question aurait été tracé par un savant Jaïna). Outre la magie selon les lignes, colonnes et diagonales principales, il y a aussi une magie selon toutes les diagonales brisées.

Il existe 48 carrés diaboliques de dimension 4 x 4, et 3,600 carrés diaboliques de dimension 5 x 5. Par contre aucun des carrés magiques normaux de dimension impairement paire (le 6 x 6 par exemple) n’est diabolique !

En prolongeant à répétition des lignes, colonnes et diagonales d’un carré diabolique on obtient un tableau de nombres qui s’enchaînent à l’infini. Sur ce quadrillage, à partir du carré diabolique de base (ici coloré noir) il est possible de générer plusieurs autres carrés différents qui possèdent tous des propriétés panmagiques:

carré magique diabolique extrapolé d'ordre 4

Tous les carrés diaboliques formés ainsi peuvent exister dans une zone de sept fois sept cases (ici indiquée par l’enceinte pointillée) au-delà de laquelle les carrés deviennent redondants à cause d’un phénomène de bouclage. Partant d’un carré diabolique de dimension N fois N le nombre de carrés différents qui existent dans le système est de N². Dans l’exemple illustré 16 carrés diaboliques différents existent dans le système mais s’agit-il plutôt de 16 différents points de vue d’un même carré ?

En effet en repliant un carré sur lui-même, puis en refermant sur lui-même le cylindre obtenu, on transforme la surface finie et limitée du carré en la surface finie mais sans limites du tore.
du carré magique au tore magique
La surface illimitée du tore permet de mieux visualiser les bouclages de nombres d’un carré magique, mais avec l’inconvénient que certains nombres sont cachés à l’extérieur et à l’intérieur de son anneau.

Afin d’optimiser la lecture il est possible de créer un tore sphérique.

En allongeant l’intérieur de l’anneau du tore avec comme noyau circulaire une bordure du carré, un vortex tendu est crée entre deux pôles, rejetant l’ensemble de nombres sur la surface extérieure. Ainsi les lignes d’un carré deviennent des latitudes, les colonnes deviennent des longitudes et les diagonales deviennent des spirales entre les deux pôles.

Le carré
carré magique diabolique d'ordre 4
Carré magique dans le domaine public

Dévient :
sphère magique diabolique d'ordre 4
Même si le tore sphérique n’est qu’une invention abstraite, il est tentant de chercher une signification. S’agit-il d’un modèle analogique de la complexité des choses ?

On pourrait y voir un modèle des champs magnétiques planétaires qui dans le cas de la Terre surgissent depuis le noyau par le pôle nord, et parcourent ensuite la surface du globe avant de replonger au pôle sud.

On pourrait également y voir un modèle de la vie : avec la naissance, la croissance, la diminution avec la vieillesse, et ensuite la mort.

Ou encore on pourrait y voir un modèle espace-temps de l’univers avec son origine au ‘big bang’, son expansion, et ensuite son déclin avant d’être absorbé par un dernier trou noir.

Mais est-ce que le tore sphérique est une représentation valable d’un carré magique? La terminologie utilisée autrefois pourrait conforter la théorie d’une approche sphérique : En effet, les anciens auteurs des ouvrages sur les carrés magiques désignaient les deux diagonales principales d’un carré par le vocable Diamètres.

Existe-il une relation entre les carrés magiques et l’harmonie des sphères que Pythagore contemplait? Pour Pythagore, l’explication de l’ordre du monde et de son harmonie devait se trouver dans la science des nombres. Il pensait que les sons harmonieux émis par une corde vibrée étaient produits par les corps divins traçant leur orbite dans le ciel. William Shakespeare décrivait ‘l’harmonie des sphères’ dans les vers du « Marchand de Venise » :

"Il n’est pas jusqu’au plus petit de tous ces globes
Que tu contemples là qui, dans son mouvement,
Ne chante comme un ange et ne se joigne au chœur
Perpétuel des chérubins aux jeunes yeux."
(Traduction de Madame Lebrun-Sudry)

Dans sa préface au livre de W.S. Andrews « Magic Squares and Cubes » Paul Carus écrivait :

« Les carrés magiques, et plus généralement tous les jeux avec les nombres possèdent l’attrait du mystère. On devine qu’il s’y cache une intelligence dont le plan secret se révèle dans la construction, une chose qui trouve son analogue dans la nature…
« Tout est Nombre, a enseigné Pythagore…Les carrés magiques sont de parfaits exemples de l’harmonie intrinsèque du Nombre, ce sont des modèles de l’ordre cosmique qui préside à tout ce qui existe…Les carrés magiques sont le miroir exemplaire de la divine loi de symétrie qui est en toutes choses, aussi bien dans les insondables abîmes du Cosmos que dans la structure des atomes ou encore dans les mystérieuses profondeurs de l’esprit de l’Homme. »

Citons en conclusion ce que le grand mathématicien Pierre de Fermat écrivait le premier avril 1640 : ‘Je ne scay guères rien de plus beau en l’Arithmétique que ces nombres que quelques-uns appellent Planetarios, et les autres Magicos.’

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