Passage du Carré Magique au Tore Magique

Pour visualiser un tore magique, commençons avec le carré magique Frénicle n° 91 (classification de Bernard Frénicle de Bessy des 880 carrés magiques d'ordre 4 - publié à titre posthume en 1693 dans son livre "Des Quarrez Magiques" - voir le listing sur le site de Harvey Heinz - Frénicle n°s 1 à 200, Frénicle n°s 201 à 400, Frénicle n°s 401 à 600, Frénicle n°s 601 à 880):

A partir du carré magique nous devons déterminer la grille de possibilités (2N-1)² pour découvrir les autres carrés qui sont affichés par le tore magique:

Ainsi nous pouvons construire 15 autres carrés à partir du carré de base. Nous pouvons constater qu'il y a 4 carrés partiellement panmagiques et 12 carrés semi-magiques affichés par le tore magique:

Ensuite nous pouvons convertir les carrés magiques trouvés dans la forme standard de Frénicle:

Nous constatons que le tore magique affiche non seulement le carré partiellement panmagique Frénicle n°91, mais aussi 3 autres carrés partiellement panmagiques (Frénicle n°150, 320, et 394), ainsi que 12 carrés semi-magiques.

Il s'agit du tore partiellement panmagique du type n° T4.03.1.2. (index n° T4.174):

Ironiquement, jusqu'à ce jour la classification de Frénicle a brouillé les pistes, car l'inversion ou réflexion des carrés magiques lors de leur conversion dans la forme standard a dissimulé leur continuité torique.

Finalement il n'y a que deux façons primordiaux de visualiser les carrés : soit depuis l'extérieur du tore soit depuis son intérieur. Et le tore peut être retourné...

Inside-out torus by Surot [Public domain], via Wikimedia Commons