255 Tores Magiques d'Ordre 4, et 1 Tore Magique d'Ordre 3

En repliant un carré sur lui même, puis en refermant sur lui-même le cylindre obtenu, on transforme la surface finie et limitée du carré en la surface finie mais sans limites du tore. La surface sans limite du tore permet de mieux visualiser les bouclages de nombres d’un carré magique, mais avec l’inconvénient que certains nombres sont cachés à l’extérieur et à l’intérieur de son anneau.

"Torus from rectangle" by Lucas Vieira [Public domain], via Wikimedia Commons

Afin d’optimiser la lecture de ce bouclage nous pouvons le remettre à plat. En prolongeant à répétition des lignes, colonnes et diagonales d’un carré pandiagonal on obtient un tableau de nombres qui s’enchaînent. Sur ce quadrillage, à partir du carré pandiagonal de base (ici coloré noir) il est possible de générer plusieurs autres carrés différents qui possèdent tous des propriétés pandiagonales :

Tous les carrés pandiagonaux formés ainsi peuvent exister dans une zone de sept fois sept cases (ici indiquée par l’enceinte pointillée) au-delà de laquelle les carrés deviennent redondants à cause d’un phénomène de bouclage. Partant d’un carré pandiagonal d’ordre N le nombre de carrés différents qui existent dans le système est de N².

Afin de vérifier l'intérêt de cette approche j'ai choisi d’utiliser le « Table générale des quarrez magiques de quatre » établi par Bernard Frénicle de Bessy et publié à titre posthume en 1693 dans son ouvrage « Des quarrez magiques ». Le listing de ces carrés se trouve en annexe du livre « New Recreations With Magic Squares » par William H. Benson et Oswald Jacoby (édition 1976), et aussi sur le site web de Harvey D. Heinz : Frénicle n° 1 à 200, Frénicle n° 201 à 400, Frénicle n° 401 à 600, Frénicle n° 601 à 880.

Grâce à la programmation informatique de Walter Trump les résultats sont maintenant révisés et étendus pour révéler l’existence de 255 tores magiques d'ordre 4 et de 4 038 tores semi-magiques d'ordre 4 :

Tores magiques d'ordre 4

 

T4.01 Tores pandiagonaux type 1

avec 8 diagonales magiques croisées qui produisent 16 intersections magiques.
Chaque tore pandiagonal type 1 est entièrement recouvert par 16 carrés 2x2 ayant la constante magique.
Tous les carrés pandiagonaux affichés sont Dudeney type I.

T4.01.1 (index n° T4.194):
16 carrés pandiagonaux Frénicle N°102, 104, 174, 201, 279, 281, 365, 393, 473, 530, 565, 623, 690, 748, 785, et 828. Le tore est entièrement recouvert par 16 carrés 2x2 ayant la constante magique.

L'illustration ci-dessous montre comment déceler les séquences similaires dans des carrés Frénicle différents, afin de révéler leur appartenance au même tore:

Pour plus d'information sur comment trouver un tore magique, voir l'article, "Passage du Carré Magique au Tore Magique." Aussi, the "Table of Fourth-Order Magic Tori" montre comment convertir tout carré magique d'ordre 4 en forme standard, pour découvrir ainsi l'indice et les détails du tore magique correspondante.

T4.01.2 (index n° T4.198):
16 carrés pandiagonaux Frénicle N°107, 109, 171, 204, 292, 294, 355, 396, 469, 532, 560, 621, 691, 744, 788, et 839. Le tore est entièrement recouvert par 16 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.01.3 (index n° T4.213):
16 carrés pandiagonaux Frénicle N°116, 117, 177, 178, 304, 305, 372, 375, 483, 485, 536, 537, 646, 647, 702 et 704. Le tore est entièrement recouvert par 16 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Total   : 3 tores pandiagonaux type 1 affichant 48 carrés pandiagonaux, et 48 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Tous les carrés pandiagonaux affichés sont Dudeney type I. 

T4.02 Tores semi-pandiagonaux type 2

avec 4 diagonales magiques croisées qui produisent 8 intersections magiques.
Chaque tore type 2.1 est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.
Chaque tore type 2.2 est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.
Chaque tore type 2.3 est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1 Tores semi-pandiagonaux Type 2.1

avec 4 diagonales magiques croisées qui produisent 8 intersections magiques.
Chaque tore type 2.1 est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

La moitié des carrés semi-pandiagonaux affichés sont Dudeney type IV et l'autre moitié sont Dudeney type VI.

T4.02.1.01 (index n° T4.038):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 16, 160, 224, 385, 435, 603, 810, et 855, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.02 (index n° T4.027):
8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 17, 85, 225, 322, 436, 604, 778, et 843, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.03 (index n° T4.036):
8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 18, 141, 226, 334, 432, 599, 809, et 854, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.04 (index n° T4.023):
8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 19, 61, 227, 251, 433, 600, 766, et 817, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.05 (index n° T4.053):
8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 24, 137, 216, 342, 443, 589, 806, et 859, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.06 (index n° T4.044):
8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 25, 55, 217, 262, 444, 590, 761, et 822, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.07 (index n° T4.073):
8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 30, 155, 236, 380, 419, 581, 802, et 851, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.08 (index n° T4.064):
8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 31, 77, 237, 313, 420, 582, 771, et 840, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.09 (index n° T4.115):
8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 48, 192, 255, 400, 570, 734, 763, et 824, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.10 (index n° T4.101):
8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 49, 93, 256, 326, 467, 498, 664, et 670, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.11 (index n° T4.111):
8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 54, 140, 261, 333, 499, 548, 671, et 715, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.12 (index n° T4.125):
8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 60, 136, 250, 341, 504, 543, 669, et 716, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.13 (index n° T4.138):
8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 64, 184, 273, 378, 507, 534, 681, et 676, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.



T4.02.1.14 (index n° T4.130):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 65, 74, 274, 311, 456, 508, 651, et 682, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.15 (index n° T4.155):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 73, 191, 310, 399, 572, 735, 774, et 842, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.16 (index n° T4.151):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 76, 159, 312, 384, 459, 515, 654, et 705, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.17 (index n° T4.165):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 84, 154, 321, 379, 451, 521, 649, et 708, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.18 (index n° T4.175):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 92, 182, 325, 367, 466, 540, 663, et 699, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.19 (index n° T4.201):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 110, 196, 287, 402, 566, 730, 791, et 836, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.20 (index n° T4.204):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 111, 195, 288, 401, 569, 731, 792, et 837, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.21 (index n° T4.220):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 119, 163, 296, 387, 488, 528, 636, et 713, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.22 (index n° T4.224):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 121, 162, 298, 386, 490, 527, 638, et 712, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.23 (index n° T4.226):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 123, 147, 307, 351, 475, 550, 630, et 723, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.1.24 (index n° T4.231):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 125, 146, 309, 350, 477, 549, 633, et 722, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 12 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Total    : 24 tores semi-pandiagonaux type 2.1 affichant 192 carrés semi-pandiagonaux, 192 carrés semi-magiques, et 288 carrés 2x2 ayant la constante magique.

La moitié des carrés semi-pandiagonaux affichés sont Dudeney type IV et l'autre moitié sont Dudeney type VI.

T4.02.2 Tores semi-pandiagonaux Type 2.2

avec 4 diagonales magiques croisées qui produisent 8 intersections magiques.
Chaque tore type 2.2 est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

La moitié des carrés semi-pandiagonaux affichés sont Dudeney type II et l'autre moitié sont Dudeney type III.

T4.02.2.01 (index n° T4.059):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 21, 176, 213, 361, 445, 591, 808, et 850, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.2.02 (index n° T4.048):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 22, 113, 214, 290, 446, 592, 790, et 835, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.2.03 (index n° T4.077):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 27, 175 (le carré Dürer), 233, 360, 421, 583, 803, et 850, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.2.04 (index n° T4.067):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 28, 112, 234, 289, 422, 584, 789, et 834, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.2.05 (index n° T4.127):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 56, 203, 246, 392, 562, 746, 768, et 818, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.2.06 (index n° T4.121):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 57, 122, 247, 299, 489, 503, 637, et 668, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.2.07 (index n° T4.137):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 62, 185, 269, 377, 505, 535, 678, et 695, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.2.08 (index n° T4.133):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 63, 120, 270, 297, 487, 506, 635, et 679, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.2.09 (index n° T4.164):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 82, 206, 316, 395, 558, 741, 779, et 844, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.2.10 (index n° T4.158):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 83, 126, 308, 317, 450, 478, 632, et 648, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.2.11 (index n° T4.173):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 89, 183, 323, 368, 464, 539, 661, et 698, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.2.12 (index n° T4.169):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 90, 124, 306, 324, 465, 476, 628, et 662, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Total    : 12 tores semi-pandiagonaux type 2.2 affichant 96 carrés semi-pandiagonaux, 96 carrés semi-magiques, et 96 carrés 2x2 ayant la constante magique.

La moitié des carrés semi-pandiagonaux affichés sont Dudeney type II et l'autre moitié sont Dudeney type III.

 

T4.02.3 Tores semi-pandiagonaux Type 2.3

avec 4 diagonales magiques croisées qui produisent 8 intersections magiques.
Chaque tore type 2.3 est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Les carrés semi-pandiagonaux affichés sont Dudeney type V.

T4.02.3.01 (index n° T4.085):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 32, 173, 228, 362, 425, 577, 798, et 853, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est totalement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.3.02 (index n° T4.080):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 33, 108, 229, 293, 426, 578, 787, et 838, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est totalement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.3.03 (index n° T4.084):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 34, 169, 230, 356, 423, 575, 797, et 852, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est totalement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.3.04 (index n° T4.079):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 35, 103, 231, 282, 424, 576, 784, et 827, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est totalement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.3.05 (index n° T4.145):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 66, 165, 264, 389, 511, 524, 674, et 710, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est totalement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.3.06 (index n° T4.144):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 67, 115, 265, 302, 479, 512, 640, et 675, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est totalement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.3.07 (index n° T4.146):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 68, 164, 266, 388, 513, 523, 676, et 709, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est totalement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.3.08 (index n° T4.143):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 69, 101, 267, 280, 471, 514, 622, et 677, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est totalement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.3.09 (index n° T4.183):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 95, 149, 328, 345, 460, 554, 657, et 721, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est totalement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.3.10 (index n° T4.181):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 96, 114, 301, 329, 461, 481, 642, et 658, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est totalement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.3.11 (index n° T4.184):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 97, 148, 330, 344, 462, 553, 659, et 720, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est totalement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.02.3.12 (index n° T4.178):

8 carrés semi-pandiagonaux Frénicle N° 98, 106, 291, 331, 463, 468, 620, et 660, ainsi que 8 carrés semi-magiques. Le tore est totalement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Total    : 12 tores semi-pandiagonaux type 2.3 affichant 96 carrés semi-pandiagonaux, 96 carrés semi-magiques, et 96 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Les carrés semi-pandiagonaux affichés sont Dudeney type V.

T4.03 Tores partiellement pandiagonaux type 3

avec 4 diagonales magiques croisées qui produisent 4 intersections magiques et 4 intersections non-magiques.
Chaque tore type 3 est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.
Chaque tore type 3.1 affiche des carrés partiellement pandiagonaux Dudeney type VI.
Chaque tore type 3.2 affiche des carrés partiellement pandiagonaux Dudeney types VII et IX.

Chaque tore type 3.3 affiche des carrés partiellement pandiagonaux Dudeney type XI.

T4.03.1 Tores partiellement pandiagonaux Type 3.1

avec 4 diagonales magiques croisées qui produisent 4 intersections magiques et 4 intersections non magiques
Chaque tore type 3.1 est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Les carrés partiellement pandiagonaux affichés sont Dudeney type VI.

T4.03.1.1 (index n° T4.108):

4 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 46, 50, 337 et 545, ainsi que 12 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.03.1.2 (index n° T4.174):
4 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 91, 150, 320 et 394, ainsi que 12 carrés semi-magiques (Voir la démonstration ici). Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.03.1.3 (index n° T4.186):
4 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 100, 285, 617 et 793, ainsi que 12 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.03.1.4 (index n° T4.246):
4 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 132, 253, 259 et 719, ainsi que 12 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.03.1.5 (index n° T4.216):

4 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 179, 376, 482 et 645, ainsi que 12 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.03.1.6 (index n° T4.168):

4 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 187, 366, 667 et 780, ainsi que 12 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Total    : 6 tores partiellement pandiagonaux type 3.1 affichant 24 carrés partiellement pandiagonaux, 72 carrés semi-magiques, et 48 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Les carrés partiellement pandiagonaux affichés sont Dudeney type VI.

T4.03.2 Tores partiellement pandiagonaux Type 3.2

avec 4 diagonales magiques croisées qui produisent 4 intersections magiques et 4 intersections non magiques.
Chaque tore type 3.2 est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

La moitié des carrés partiellement pandiagonaux affichés sont Dudeney type VII et l'autre moitié sont Dudeney type IX.

T4.03.2.01 (index n° T4.193):
4 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 105, 439, 442 et 786, ainsi que 12 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.03.2.02 (index n° T4.212):
4 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 118, 271, 272 et 486, ainsi que 12 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.03.2.03 (index n° T4.214):
4 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 180, 347, 349 et 538, ainsi que 12 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.03.2.04 (index n° T4.188):
4 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 200, 737, 765 et 868, ainsi que 12 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.03.2.05 (index n° T4.189):
4 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 207, 736, 775 et 831, ainsi que 12 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.03.2.06 (index n° T4.195):
4 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 208, 525, 526 et 693, ainsi que 12 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.03.2.07 (index n° T4.060):
4 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 283, 472, 588 et 795, ainsi que 12 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.03.2.08 (index n° T4.141):
4 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 303, 509, 510 et 644, ainsi que 12 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.03.2.09 (index n° T4.234):
4 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 371, 551, 552 et 701, ainsi que 12 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.03.2.10 (index n° T4.123):
4 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 390, 571, 782 et 867, ainsi que 12 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.03.2.11 (index n° T4.221):
4 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 407, 531, 692 et 711, ainsi que 12 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.03.2.12 (index n° T4.161):

4 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 408, 555, 783 et 829, ainsi que 12 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Total    : 12 tores partiellement pandiagonaux type 3.2 affichant 48 carrés partiellement pandiagonaux, 144 carrés semi-magiques, et 96 carrés 2x2 ayant la constante magique.

La moitié des carrés partiellement pandiagonaux affichés sont Dudeney type VII et l'autre moitié sont Dudeney type IX.

T4.03.3 Tores partiellement pandiagonaux Type 3.3

avec 4 diagonales magiques croisées qui produisent 4 intersections magiques  et 4 intersections non magiques.
Chaque tore type 3.3 est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Les carrés partiellement pandiagonaux affichés sont Dudeney type XI.

T4.03.3.1 (index n° T4.217):

4 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 181, 374, 484 et 643, ainsi que 12 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.03.3.2 (index n° T4.187):

4 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 202, 364, 689 et 724, ainsi que 12 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Total    : 2 tores partiellement pandiagonaux type 3.3 affichant 8 carrés partiellement pandiagonaux, 24 carrés semi-magiques, et 16 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Les carrés partiellement pandiagonaux affichés sont Dudeney type XI.

T4.04 Tores partiellement pandiagonaux type 4

avec 3 diagonales magiques croisées qui produisent 2 intersections magiques et 2 intersections non-magiques.

Chaque tore type 4 est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
La moitié des carrés partiellement pandiagonaux affichés sont Dudeney type VIII et l'autre moitié sont Dudeney type X.

(tores identifiés grâce à la programmation de Walter Trump)

T4.04.1 (index n° T4.096):

2 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 40 et 522, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.04.2 (index n° T4.098):

2 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 275 et 519, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.04.3 (index n° T4.120):

2 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 542 et 866, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.04.4 (index n° T4.157):

2 carrés partiellement pandiagonaux Frénicle N° 727 et 865 ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Total    : 4 tores partiellement pandiagonaux type 4 affichant 8 carrés partiellement pandiagonaux, 56 carrés semi-magiques, et 16 carrés 2x2 ayant la constante magique.

La moitié des carrés partiellement pandiagonaux affichés sont Dudeney type VIII et l'autre moitié sont Dudeney type X.

 

T4.05 Tores magiques simples type 5

avec 2 diagonales magiques croisées qui produisent 2 intersections magiques.
Chaque tore type 5.1 et 5.2 is entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.
Chaque tore type 5.3 et 5.4 is entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1 Tores magiques simples type 5.1

avec 2 diagonales magiques croisées, qui produisent 2 intersections magiques.
Chaque tore type 5.1 est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Les carrés magiques affichés sont Dudeney type VI.

T4.05.1.01 (index n° T4.002):

2 carrés magiques Frénicle N° 1 et 458, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.02 (index n° T4.001):

2 carrés magiques Frénicle N° 2 et 448, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.03 (index n° T4.012):

2 carrés magiques Frénicle N° 4 et 672, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.04 (index n° T4.008):

2 carrés magiques Frénicle N° 5 et 625, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.05 (index n° T4.011):

2 carrés magiques Frénicle N° 6 et 611, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.06 (index n° T4.007):

2 carrés magiques Frénicle N° 7 et 612, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.07 (index n° T4.034):

2 carrés magiques Frénicle N° 12 et 520, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.08 (index n° T4.035):

2 carrés magiques Frénicle N° 13 et 339, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.09 (index n° T4.025):

2 carrés magiques Frénicle N° 14 et 457, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.10 (index n° T4.029):

2 carrés magiques Frénicle N° 15 et 258, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.11 (index n° T4.089):

2 carrés magiques Frénicle N° 36 et 742, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.12 (index n° T4.062):

2 carrés magiques Frénicle N° 37 et 832, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.13 (index n° T4.088):

2 carrés magiques Frénicle N° 38 et 706, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.14 (index n° T4.043):

2 carrés magiques Frénicle N° 39 et 826, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.15 (index n° T4.103): 

2 carrés magiques Frénicle N° 44 et 352, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.16 (index n° T4.107): 

2 carrés magiques Frénicle N° 45 et 557, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.17 (index n° T4.109):

2 carrés magiques Frénicle N° 47 et 556, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.18 (index n° T4.063): 

2 carrés magiques Frénicle N° 51 et 772, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.19 (index n° T4.114):

2 carrés magiques Frénicle N° 52 et 222, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.20 (index n° T4.100): 

2 carrés magiques Frénicle N° 53 et 223, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.21 (index n° T4.148): 

2 carrés magiques Frénicle N° 70 et 391, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.22 (index n° T4.149): 

2 carrés magiques Frénicle N° 71 et 359, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.23 (index n° T4.132): 

2 carrés magiques Frénicle N° 72 et 745, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.24 (index n° T4.066): 

2 carrés magiques Frénicle N° 75 et 857, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.25 (index n° T4.119): 

2 carrés magiques Frénicle N° 78 et 725, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.26 (index n° T4.047): 

2 carrés magiques Frénicle N° 79 et 856, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.27 (index n° T4.046): 

2 carrés magiques Frénicle N° 80 et 760, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.28 (index n° T4.118): 

2 carrés magiques Frénicle N° 81 et 430, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.29 (index n° T4.171): 

2 carrés magiques Frénicle N° 86 et 363, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.30 (index n° T4.172): 

2 carrés magiques Frénicle N° 87 et 318, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.31 (index n° T4.243):

2 carrés magiques Frénicle N° 127 et 220, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.32 (index n° T4.136): 

2 carrés magiques Frénicle N° 130 et 561, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.33 (index n° T4.134): 

2 carrés magiques Frénicle N° 131 et 624, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.34 (index n° T4.072): 

2 carrés magiques Frénicle N° 133 et 807, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.35 (index n° T4.071):

2 carrés magiques Frénicle N° 134 et 830, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.36 (index n° T4.244):

2 carrés magiques Frénicle N° 135 et 219, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.37 (index n° T4.052): 

2 carrés magiques Frénicle N° 138 et 825, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.38 (index n° T4.124): 

2 carrés magiques Frénicle N° 139 et 610, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.39 (index n° T4.227):

2 carrés magiques Frénicle N° 143 et 627, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.40 (index n° T4.232): 

2 carrés magiques Frénicle N° 144 et 631, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.41 (index n° T4.253):

2 carrés magiques Frénicle N° 151 et 286, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.42 (index n° T4.211):

2 carrés magiques Frénicle N° 152 et 454, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.43 (index n° T4.202): 

2 carrés magiques Frénicle N° 153 et 447, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

 
T4.05.1.44 (index n° T4.252):

2 carrés magiques Frénicle N° 156 et 284, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.45 (index n° T4.057): 

2 carrés magiques Frénicle N° 157 et 801, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.46 (index n° T4.248): 

2 carrés magiques Frénicle N° 158 et 428, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.47 (index n° T4.076): 

2 carrés magiques Frénicle N° 166 et 848, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.48 (index n° T4.058): 

2 carrés magiques Frénicle N° 167 et 846, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.49 (index n° T4.192): 

2 carrés magiques Frénicle N° 168 et 609, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.50 (index n° T4.140):

2 carrés magiques Frénicle N° 186 et 683, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.51 (index n° T4.254): 

2 carrés magiques Frénicle N° 188 et 295, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.52 (index n° T4.128):

2 carrés magiques Frénicle N° 189 et 533, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.53 (index n° T4.250): 

2 carrés magiques Frénicle N° 190 et 474, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.54 (index n° T4.207):

2 carrés magiques Frénicle N° 194 et 480, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.55 (index n° T4.129): 

2 carrés magiques Frénicle N° 198 et 680, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.56 (index n° T4.196):

2 carrés magiques Frénicle N° 199 et 629, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.57 (index n° T4.004):

2 carrés magiques Frénicle N° 210 et 656, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.58 (index n° T4.003):

2 carrés magiques Frénicle N° 211 et 619, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.59 (index n° T4.225):

2 carrés magiques Frénicle N° 218 et 707, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.60 (index n° T4.131):

2 carrés magiques Frénicle N° 221 et 653, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.61 (index n° T4.229): 

2 carrés magiques Frénicle N° 252 et 743, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.62 (index n° T4.247):

2 carrés magiques Frénicle N° 254 et 740, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.63 (index n° T4.065):

2 carrés magiques Frénicle N° 257 et 841, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.64 (index n° T4.045):

2 carrés magiques Frénicle N° 314 et 821, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.65 (index n° T4.024): 

2 carrés magiques Frénicle N° 315 et 597, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.66 (index n° T4.139):  

2 carrés magiques Frénicle N° 336 et 747, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.67 (index n° T4.074): 

2 carrés magiques Frénicle N° 338 et 861, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.68 (index n° T4.150): 

2 carrés magiques Frénicle N° 370 et 639, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.69 (index n° T4.147):

2 carrés magiques Frénicle N° 381 et 614, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.70 (index n° T4.054): 

2 carrés magiques Frénicle N° 382 et 849, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.71 (index n° T4.037): 

2 carrés magiques Frénicle N° 383 et 594, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.72 (index n° T4.126):

2 carrés magiques Frénicle N° 397 et 694, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.73 (index n° T4.112): 

2 carrés magiques Frénicle N° 398 et 626, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.74 (index n° T4.215): 

2 carrés magiques Frénicle N° 404 et 641, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.75 (index n° T4.218):

2 carrés magiques Frénicle N° 427 et 718, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

 
T4.05.1.76 (index n° T4.102): 

2 carrés magiques Frénicle N° 429 et 673, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.77 (index n° T4.223): 

2 carrés magiques Frénicle N° 452 et 750, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.78 (index n° T4.028): 

2 carrés magiques Frénicle N° 502 et 596, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.79 (index n° T4.176): 

2 carrés magiques Frénicle N° 516 et 752, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.80 (index n° T4.039): 

2 carrés magiques Frénicle N° 547 et 593, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.81 (index n° T4.166): 

2 carrés magiques Frénicle N° 573 et 697, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.82 (index n° T4.152): 

2 carrés magiques Frénicle N° 574 et 634, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.83 (index n° T4.041):

2 carrés magiques Frénicle N° 595 et 804, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.84 (index n° T4.042): 

2 carrés magiques Frénicle N° 602 et 764, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.85 (index n° T4.185): 

2 carrés magiques Frénicle N° 615 et 815, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.86 (index n° T4.163):

2 carrés magiques Frénicle N° 665 et 777, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.87 (index n° T4.162): 

2 carrés magiques Frénicle N° 739 et 755, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.88 (index n° T4.167): 

2 carrés magiques Frénicle N° 751 et 776, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.89 (index n° T4.200):

2 carrés magiques Frénicle N° 756 et 862, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.90 (index n° T4.203): 

2 carrés magiques Frénicle N° 769 et 864, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.91 (index n° T4.113): 

2 carrés magiques Frénicle N° 813 et 819, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.1.92 (index n° T4.153):

2 carrés magiques Frénicle N° 816 et 833, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Total    : 92 tores magiques simples type 5.1 affichant 184 carrés magiques simples, 1,288 carrés semi-magiques, et 736 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Les carrés magiques affichés sont Dudeney type VI.

T4.05.2 Tores magiques simples type 5.2

avec 2 diagonales magiques croisées, qui produisent 2 intersections magiques.
Chaque tore type 5.2 est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

La moitié des carrés magiques affichés sont Dudeney type VII et l'autre moitié sont Dudeney type IX.

T4.05.2.01 (index n° T4.049):

2 carrés magiques Frénicle N° 23 et 767, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.02 (index n° T4.068):

2 carrés magiques Frénicle N° 29 et 781, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.03 (index n° T4.026): 

2 carrés magiques Frénicle N° 59 et 870, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.04 (index n° T4.249):

2 carrés magiques Frénicle N° 142 et 438, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.05 (index n° T4.228):

2 carrés magiques Frénicle N° 145 et 529, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.06 (index n° T4.219): 

2 carrés magiques Frénicle N° 161 et 703, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.07 (index n° T4.040): 

2 carrés magiques Frénicle N° 172 et 869, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.08 (index n° T4.255): 

2 carrés magiques Frénicle N° 193 et 268, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.09 (index n° T4.206): 

2 carrés magiques Frénicle N° 197 et 346, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.10 (index n° T4.197): 

2 carrés magiques Frénicle N° 205 et 700, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.11 (index n° T4.122):

2 carrés magiques Frénicle N° 215 et 799, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.12 (index n° T4.251): 

2 carrés magiques Frénicle N° 235 et 845, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.13 (index n° T4.032):

2 carrés magiques Frénicle N° 249 et 878, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.14 (index n° T4.142):

2 carrés magiques Frénicle N° 300 et 559, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.15 (index n° T4.061):

2 carrés magiques Frénicle N° 335 et 470, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.16 (index n° T4.199): 

2 carrés magiques Frénicle N° 348 et 714, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.2.17 (index n° T4.033): 

2 carrés magiques Frénicle N° 358 et 875, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.2.18 (index n° T4.233): 

2 carrés magiques Frénicle N° 369 et 563, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.2.19 (index n° T4.209):

2 carrés magiques Frénicle N° 373 et 717, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.20 (index n° T4.210): 

2 carrés magiques Frénicle N° 403 et 738, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.21 (index n° T4.205): 

2 carrés magiques Frénicle N° 405 et 517, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.22 (index n° T4.156): 

2 carrés magiques Frénicle N° 406 et 453, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.23 (index n° T4.160): 

2 carrés magiques Frénicle N° 418 et 805, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.2.24 (index n° T4.245):

2 carrés magiques Frénicle N° 441 et 873, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.25 (index n° T4.154): 

2 carrés magiques Frénicle N° 455 et 729, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.26 (index n° T4.191): 

2 carrés magiques Frénicle N° 518 et 728, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.27 (index n° T4.222): 

2 carrés magiques Frénicle N° 564 et 732, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.2.28 (index n° T4.230): 

2 carrés magiques Frénicle N° 567 et 749, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.29 (index n° T4.110):

2 carrés magiques Frénicle N° 568 et 757, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.2.30 (index n° T4.075):

2 carrés magiques Frénicle N° 580 et 858, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.2.31 (index n° T4.055):

2 carrés magiques Frénicle N° 587 et 879, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.2.32 (index n° T4.116):

2 carrés magiques Frénicle N° 733 et 758, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 8 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Total    : 32 tores magiques simples type 5.2 affichant 64 carrés magiques simples, 448 carrés semi-magiques, et 256 carrés 2x2 ayant la constante magique.

La moitié des carrés magiques affichés sont Dudeney type VII et l'autre moitié sont Dudeney type IX.

T4.05.3 Tores magiques simples type 5.3

avec 2 diagonales magiques croisées, qui produisent 2 intersections magiques.
Chaque tore type 5.3 est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Les carrés magiques affichés sont Dudeney type XII.

T4.05.3.1 (index n° T4.005):

2 carrés magiques Frénicle N° 3 et 613, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.3.2 (index n° T4.170):

2 carrés magiques Frénicle N° 88 et 650, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.3.3 (index n° T4.006):

2 carrés magiques Frénicle N° 209 et 449, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.3.4 (index n° T4.159):

2 carrés magiques Frénicle N° 319 et 666, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Total    : 4 tores magiques simples type 5.3 affichant 8 carrés magiques simples, 56 carrés semi-magiques, et 16 carrés 2x2 ayant la constante magique.

Les carrés magiques affichés sont Dudeney type XII.

T4.05.4 Tores magiques simples type 5.4

avec 2 diagonales magiques croisées, qui produisent 2 intersections magiques.
Chaque tore type 5.4 est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

La moitié des carrés magiques affichés sont Dudeney type VIII, et l'autre moitié sont Dudeney type X.

T4.05.4.01 (index n° T4.019):

2 carrés magiques Frénicle N° 8 et 343, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.02 (index n° T4.018):

2 carrés magiques Frénicle N° 9 et 263, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.03 (index n° T4.022):

2 carrés magiques Frénicle N° 10 et 240, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.04 (index n° T4.017):

2 carrés magiques Frénicle N° 11 et 241, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.05 (index n° T4.050):

2 carrés magiques Frénicle N° 20 et 811, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.06 (index n° T4.069):

2 carrés magiques Frénicle N° 26 et 812, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.07 (index n° T4.097):

2 carrés magiques Frénicle N° 41 et 493, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.08 (index n° T4.095):

2 carrés magiques Frénicle N° 42 et 494, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.09 (index n° T4.092): 

2 carrés magiques Frénicle N° 43 et 434, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.10 (index n° T4.078): 

2 carrés magiques Frénicle N° 58 et 877, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.11 (index n° T4.182):

2 carrés magiques Frénicle N° 94 et 655, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.12 (index n° T4.177):

2 carrés magiques Frénicle N° 99 et 618, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.13 (index n° T4.239): 

2 carrés magiques Frénicle N° 128 et 773, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.14 (index n° T4.240):

2 carrés magiques Frénicle N° 129 et 762, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.15 (index n° T4.083): 

2 carrés magiques Frénicle N° 170 et 874, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.16 (index n° T4.237):

2 carrés magiques Frénicle N° 212 et 794, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.17 (index n° T4.242): 

2 carrés magiques Frénicle N° 232 et 863, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.18 (index n° T4.020):

2 carrés magiques Frénicle N° 238 et 411, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.19 (index n° T4.015):

2 carrés magiques Frénicle N° 239 et 412, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.20 (index n° T4.208):

2 carrés magiques Frénicle N° 242 et 546, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.21 (index n° T4.105): 

2 carrés magiques Frénicle N° 243 et 501, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.22 (index n° T4.014):

2 carrés magiques Frénicle N° 244 et 415, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.23 (index n° T4.010):

2 carrés magiques Frénicle N° 245 et 416, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.24 (index n° T4.082):

2 carrés magiques Frénicle N° 248 et 872, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.25 (index n° T4.016):

2 carrés magiques Frénicle N° 260 et 410, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.26 (index n° T4.099):  

2 carrés magiques Frénicle N° 276 et 491, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.27 (index n° T4.086): 

2 carrés magiques Frénicle N° 277 et 685, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.28 (index n° T4.031): 

2 carrés magiques Frénicle N° 278 et 601, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.29 (index n° T4.179): 

2 carrés magiques Frénicle N° 327 et 616, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.30 (index n° T4.180): 

2 carrés magiques Frénicle N° 332 et 652, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.31 (index n° T4.021):

2 carrés magiques Frénicle N° 340 et 409, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.32 (index n° T4.236):

2 carrés magiques Frénicle N° 353 et 770, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.33 (index n° T4.104): 

2 carrés magiques Frénicle N° 354 et 823, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.34 (index n° T4.081): 

2 carrés magiques Frénicle N° 357 et 871, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.35 (index n° T4.013): 

2 carrés magiques Frénicle N° 413 et 607, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.36 (index n° T4.009): 

2 carrés magiques Frénicle N° 414 et 608, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.37 (index n° T4.238):

2 carrés magiques Frénicle N° 417 et 796, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.38 (index n° T4.093):

2 carrés magiques Frénicle N° 431 et 686, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.39 (index n° T4.190): 

2 carrés magiques Frénicle N° 437 et 814, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.40 (index n° T4.241):

2 carrés magiques Frénicle N° 440 et 880, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.41 (index n° T4.094):

2 carrés magiques Frénicle N° 492 et 688, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.42 (index n° T4.030): 

2 carrés magiques Frénicle N° 495 et 598, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.43 (index n° T4.090):

2 carrés magiques Frénicle N° 496 et 754, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.44 (index n° T4.087): 

2 carrés magiques Frénicle N° 497 et 684, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.45 (index n° T4.106): 

2 carrés magiques Frénicle N° 500 et 606, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.46 (index n° T4.235):

2 carrés magiques Frénicle N° 541 et 759, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.47 (index n° T4.135):

2 carrés magiques Frénicle N° 544 et 605, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.48 (index n° T4.070):

2 carrés magiques Frénicle N° 579 et 847, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.49 (index n° T4.056): 

2 carrés magiques Frénicle N° 585 et 800, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.50 (index n° T4.051):

2 carrés magiques Frénicle N° 586 et 876, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.

T4.05.4.51 (index n° T4.091): 

2 carrés magiques Frénicle N° 687 et 753, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
T4.05.4.52 (index n° T4.117):

2 carrés magiques Frénicle N° 726 et 820, ainsi que 14 carrés semi-magiques. Le tore est entièrement recouvert par 4 carrés 2x2 ayant la constante magique.
 
Total   : 52 tores magiques simples type 5.4 affichant 104 carrés magiques simples, 728 carrés semi-magiques, et 208 carrés 2x2 ayant la constante magique.

La moitié des carrés magiques affichés sont Dudeney type VIII, et l'autre moitié sont Dudeney type X.

 

Totaux des tores magiques d'ordre 4:

255 TORES MAGIQUES D'ORDRE 4 AFFICHANT 880 CARRES MAGIQUES, 3,200 CARRES SEMI-MAGIQUES, ET 1,920 CARRES 2x2 AYANT LA CONSTANTE MAGIQUE

Tores semi-magiques d'ordre 4

Un carré semi-magique est un carré dont la magie arithmétique a lieu en lignes et en colonnes, mais pas en les deux diagonales principales.

D'après les premiers calculs informatiques de Walter Trump le nombre de carrés magiques et semi-magiques est de 68,688. 68,688 - 880 carrés magiques = 67,808 carrés semi-magiques. 3,200 carrés semi-magiques sont déjà affichés sur les 255 tores magiques. Nous pouvons déduire qu'il y a également 67,808 – 3,200 = 64,608 carrés semi-magiques 4x4 affichés sur 4,038 autres tores semi-magiques (64,608 / 16). Ces tores semi-magiques pourraient être dotés de diagonales magiques parallèles (ne produisant pas d'intersections magiques), ou pourraient être dépourvus de diagonales magiques. Les dernières calculs informatiques de Walter Trump confirment que les tores semi-magiques d'ordre 4 sont soit dotés soit de diagonales magiques parallèles qui ne produisent pas d'intersections magiques, soit dépourvus de diagonales magiques. Quelques exemples des différents types (provisoirement représentés ici par un seul carré pour chaque tore) sont illustrés ci-dessous:

T4.06 Tores Semi-Magiques Type 6 

avec 4 diagonales magiques parallèles qui ne produisent pas d'intersections magiques

Total   : 12 tores semi-magiques type 6 affichant 192 carrés semi-magiques

(comptés par les calculs informatiques de Walter Trump)

 

T4.07 Tores Semi-Magiques Type 7

avec 2 diagonales magiques parallèles aux écartements inégaux qui ne produisent pas d'intersections magiques

Total   : 12 tores semi-magiques type 7 affichant 192 carrés semi-magiques

(tores semi-magiques comptés par les calculs informatiques de Walter Trump)

T4.08 Tores Semi-Magiques Type 8

avec 2 diagonales magiques parallèles aux écartements égaux qui ne produisent pas d'intersections magiques

Total   : 88 tores semi-magiques type 8 affichant 1,408 carrés semi-magiques

(tores semi-magiques comptés par les calculs informatiques de Walter Trump)

T4.09 Tores Semi-Magiques Type 9

avec une seule diagonale magique qui ne produit pas d'intersection magique

Total   : 200 tores semi-magiques type 9 affichant 3,200 carrés semi-magiques

(tores semi-magiques comptés par les calculs informatiques de Walter Trump)

T4.10 Tores Semi-Magiques Type 10

sans diagonales magiques

Total   : 3,726 tores semi-magiques type 10 affichant 59,616 carrés semi-magiques

(tores semi-magiques comptés par les calculs informatiques de Walter Trump)

L'étude reste à compléter par l'établissement d'un listing de tous les tores semi-magiques dans un ordre numérique (en utilisant la forme standard de Frénicle par exemple).

Totaux des tores semi-magiques d'ordre 4:

4 038 TORES SEMI-MAGIQUES D'ORDRE 4 AFFICHANT 64 608 CARRES SEMI--MAGIQUES

Tores magiques et semi-magiques d'ordre 4 : Conclusions

L’étude du tableau des 880 carrés magiques d’ordre 4 démontre l’existence de 255 tores magiques, qui affichent non seulement 880 carrés magiques, mais aussi 3,200 carrés semi-magiques. Tous les tores magiques sont entièrement recouverts par carrés 2x2 ayant la constante magique. Recouvrant les 255 tores magiques, il y a un total de 1,920 carrés 2x2 ayant la constant magique.

Le nombre de carrés (magiques et semi-magiques) d’ordre N qui sont inscrits sur chaque tore magique d’ordre N est de N².

4,038 tores semi-magiques d'ordre 4 ont également été trouvés, et ceux-ci affichent 64,608 carrés semi-magiques supplémentaires. Les carrés 2x2 ayant la constante magique, restent à dénombrer sur les tores semi-magiques d'ordre 4.

255 est maintenant le quatrième nombre de la séquence A270876 "Number of magic tori of order n composed of the numbers from 1 to n^2," publiée par the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS).

4,293 (255 + 4,038) est maintenant le quatrième nombre de la séquence A271104 "Number of magic and semi-magic tori of order n composed of the numbers from 1 to n^2," publiée par the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS).

T3 Tore magique d'ordre 3

L’étude ne sera pas complète sans l’examen de l’unique tore magique d’ordre 3. Partant du carré magique 3x3 dans la forme standard de Frénicle (en haut à gauche de l’illustration suivante), et tenant compte des bouclages de nombres sur le tore magique d’ordre 3 on obtient 8 autres carrés semi-magiques d’ordre 3 :

Après conversion de ces carrés semi-magiques dans la forme standard de Frénicle on obtient :

On constate que le tore magique simple d’ordre 3 n’affiche qu’un seul carré magique normal. Bien que deux diagonales magiques soient croisées elles ne produisent qu’une seule intersection magique sur le nombre 5, la deuxième intersection se trouvant sur l’intervalle entre les nombres 6, 4, 8, et 2. Il est intéressant de noter que la moyenne de ces derniers soit de 5, et que la moyenne des couples de nombres 6+4 et 8+2 soit également de 5.

On peut déduire que les tores magiques simples (ceux qui ne sont pas panmagiques ou semi-panmagiques) d’ordre impair N affichent non seulement 1 carré magique simple d’ordre N, mais aussi N²-1 carrés semi-magiques d’ordre N. Par exemple, dans le cas du plus petit tore magique d'ordre 1, le tore affiche 1 carré magique simple d'ordre 1, et 1²-1 = 0 carrés semi-magiques d'ordre 1. Il est intéressant de noter que le carré d'ordre 1 peut être visualisé soit comme un carré magique simple, soit comme un carré panmagique!

1, (le nombre de tores magiques d'ordre 3), est maintenant le troisième nombre des séquences A270876 "Number of magic tori of order n composed of the numbers from 1 to n^2" et A271104 "Number of magic and semi-magic tori of order n composed of the numbers from 1 to n^2," publiées par the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS).

Nouveau développement!

Publié le 21 janvier 2018, un article intitulé "Multiplicative Magic Tori" démontre que les 255 tores magiques of d'ordre 4 sont des états multipliés de 82 Multiplicative Magic Tori (MMT) d'ordre 4!

Remerciements

Mes remerciements vont d'abord à Walter Trump, non seulement pour son conseil sur le choix de terminologie, mais aussi pour sa programmation qui a identifié le tore type 4.04, permettant un compte exact.

Je souhaite également remercier Miguel Angel Amela qui a très gentiment programmé une récherche par ordinateur des différentes solutions de diagonales magiques brisées. Ses résultats confirment les conclusions de l'étude des tores magiques d'ordre 4.

Depuis que j'ai publié cette étude j'ai appris l'existence de Aale de Winkel's "Magic Encyclopedia" database Order 04 square group theory. Je souhaite mentionner le travail d'Aale car son approche, bien qu'étant différent, (ni le même raisonnement ni la même conclusion), est assez complémentaire Veuillez noter que dans son étude Aale de Winkel n'utilise que les nombres analytiques de 0 à 15 (au lieu d'utiliser les nombres reguliers d'1 à 16). Les propriétés magiques des carrés restent intactes mais il est nécessaire d'ajouter 1 à chaque nombre pour visualiser les carrés dans leur version traditionnelle.

Je veux remercier Kanji Setsuda d'avoir insisté sur l'importance des carrés magiques associatifs (ou auto-complémentaires). En tenant compte de ses observations j'ai créé une sous-division spécifique des tores semi-pandiagonaux.

Mes remerciements vont aussi à Dwane Campbell, qui a publié des études comparatives très intérressantes des classifications de Dudeney et de Walkington, dans les trois articles suivants:
"Analysis of Order-4 Magic Squares,"
"Order-4 Magic Squares Grouped by Base Square Quartets,"
"Features in Order-4 Magic Squares."